GEOMETRÍA ANALÍTICA
( CHARLES LEHMAMN)
SISTEMA UNIDIMENCIONAL
- HORIZONTAL
- VERTICAL
2). Segmento rectilineo dirigido. La porcion de una linea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilineo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Asi, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del
segmento AB se representa por AB.
Fig. I
A B
------------->----------
A B
------------->----------
El lector ya está
familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines
de la Geometría analítica diremos, a1 concepto geométrico de segmento, la idea
de sentido o dirección. desde este punto de vista consideramos que el segmento
AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A hacia B.
Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de A a B, e indicamos esto
por medio de una flecha como en la figura 1.En este campo el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también
obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A; entonces B es el origen y
A el extremo, y el segmento se designa por BA. El sentido de un segmento
dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desde
el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de 10s segmentos dirigidos,
AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre 10s signos de estas
longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un
sentido sería considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en
sentido opuesto, sería considerado como un segmento de longitud negativo. De
acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una
longitud positiva, entonces el segmento
dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.
AB = - BA
Demostraremos enseguida que todas estas relaciones están incluidas en la
relación fundamental:
AB+BC=AC
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL
TEOREMA 1.-La
distancia de un segmento de recta es igual a la abscisa del punto final menos
la abscisa del del punto inicial en valor absoluto
- Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :
OP1 + P1P2 = OP2
Pero, P1P2= OP2-OP1
P1P2 = (X2 - X1)
Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3 ) .
Solucibn. Por el teorema 1. las longitudes de 10s segmentos dirigidos son
P1P2 = -3-5 = -8
P2P1= 5-(-3) =8 _P2_______P1_________0
(-3) (5)
Pero, P1P2= OP2-OP1
P1P2 = (X2 - X1)
Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3 ) .
Solucibn. Por el teorema 1. las longitudes de 10s segmentos dirigidos son
P1P2 = -3-5 = -8
P2P1= 5-(-3) =8 _P2_______P1_________0
(-3) (5)
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
TEOREMA 2 .A La distancia d entre dos puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
estd dada por la FORMULA
estd dada por la FORMULA
NOTAS. 1. En la demostracion del teorema 2, no se hizo mencion de los cuadrantes en que se encuentran los puntos PI y Pa. Segun esto el resultado del teorema 2 es completamente general e independiente de la situacibn de los puntos P1 y P2.
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son los puntos extremos de un segmento de
recta en que un punto p
(x,y) divide a este segmento en la razón dada r = P1P/PP2 Y viene
carculada por x = x1+rx2/ 1+r
y = y1+ r
y2/ 1+ r r =/= -1
Ejemplo.
Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son los puntos extremos del segmento dirigido PI Para hallar las coordenadas del punto P ( x , y) que divide a
este segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.
Solución
-. Como la razon es negativa. el punto de division P es extremo, tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente, obtendremos:
x = x1+ r
x2 / 1+r
x=
-4+(-3)4/ 1-3= 8
y= y1+
ry2 /1+ r
y =
2+(-3)6 /1-3 = 8
PUNTO MEDIO
En el
caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido P1 P2, es r =
1 , de manera que los resultados anteriores se reducen a :
X =
X1+X2/2
; Y= Y1+Y2/2
Líneas notables de un triángulo
MEDIANAS : Punto
de intersección es el Baricentro
MEDIATRICES
: Punto de
interseccion, es el Circuncentro
ALTURAS : Punto
de interseccion, es el Ortocentro
BISECTRICES::
Punto de interseccion es el Ortocentro
La recta que une a los puntos (Baricentro , Circuncentro ,
Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler
Pendiente de una
recta(m)
Angulo de inclinación α .- E s el
angulo formado entre la parte positiva del eje de las x y una alineación
cualquiera siempre que esta este dirigida hacia arriba por lo tanto α tendra valores mayores o iguales a cero grados y menores o iguales a 180 º
Pendiente de una recta .-la
pendiente de una recta es igual a la tangente del angulo de inclinación α
m = tg
teorema
3.-si p1(x1,y1) y p2(x2,y2) son los puntos extremos de un segmento de recta su
pendiente viene determinada por m=
y1-y2/x1-x2
x1=/= x2
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
TEOREMA
4.-Un ángulo específicado Θ formado por dos rectas que se cortan ; viene
determinado por m2 pendiente del lado final y m1 pendiente del lado inicial .
tg Θ =
m2-m1/ 1+m2.m1 ; m2.m1 =/= -1
DEMOSTRACION:
α2
= α 1 + Θ
Θ =
α2 - α 1
Tg Θ = tg
(α2 - α 1)
tg
Θ = tg α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1
m = tg α
tg α =m2-m1/1+ m2,m1
EJEMPLO :
En el siguiente triángulo cuyos vértices son lospuntos de
coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los ángulos interiores
mAB =
Y1-Y2/X1-X2
mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3
mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 =
-1/2
mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.
Tg Θ
A = m2-m1/1+m2.m1
Tg Θ C = m2-m1/1+m2.m1
Tg Θ=
-1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3)
Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))
Tg Θ =-1/2+3 /
1+3/2
Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)
Tg Θ = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5=
1
Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito
Tg Θ a =
1
Θ A = inv tg 1
Θ A = 45º
Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1
Comprobación:
Tg Θ =
1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2)
A+B+C =180º
Tg Θ
=(1/3+1/2)/(1-1/6)
45º +45º +90º = 180º
Tg Θ =
(5/6)/(5/6)
180º = 180º
Tg Θ = 5/5
Tg Θ = 1
Θ = Inv Tg 1
Θ = 45º
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
a) PARALELAS
Corolario.- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas esque sus pendientes sean iguales m1 = m2
.
Tg 0º = m2 -
m1 / 1+m2.m1
0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1
(1+m2.m1)0 = m2-m1
0 = m2-m1
m1 = m2
b) PERPENDICULARES
Corolario .- La condición necesaria y suficiente para que dos
rectas sean perpendiculares esque sus pendientes sean inversas y de signo
contrario
Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1
Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1
Tg 90º = inf = 1/0
1/0 = m2-
m1/1+m2.m1
1+m2.m1 = 0(m2-m1)
1+m2.m1 =0
m1 = - 1 /m2
LA LÍNEA RECTA
Es el
lugar geométrico de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente
m= y1-y2
FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA
RECTA
1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen
TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen
es b, tiene como ecuación y= mx + b
DEMOSTRACIÓN:
m= Y-b/x-0
m= y-b /x
mx = y-b
mx + b = y
EJEMPLO :
1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA
AL ORIGEN ES b= -4
Y = 2/3 X -4.
3Y = 2X -12
2X - 3Y -12 = 0
2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR
UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA
TEOREMA 6.- La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto
p(x,y) tiene una ecuacion y-y1= m(x-x1)
DEMOSTRACIÓN:
m= y-y1/x-x1
m(x-x1)= y-y1
y-y1=m(x-x1)
EJEMPLO :
1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5 Y PASA
POR EL PUNTO (4,7)
Y-Y1= m (x-x1)
y-7 = -3/5 (x-4)
5y - 35 = 3x +12
3x + 5y - 47 = 0
3) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR
DOS PUNTOS DADOS
TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuacion :
m = y1-y2/x1-x2
y-y1 = m = ( x - x1)
y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)
4) ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA
RECTA
TEOREMA 8.- La ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes de coordenadas (x,y) son a y b respectivamente. Su ecuación es x/a + y/b =1
.
y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)
y- b= b-0/0-a (x-0)
y-b =-b/a (x)
-a(y-b) = bx
-ay + ab = bx
bx+ay = ab
: (ab)
bx/ab + ay /ab = ab/ab
x/a + y/b = 1
MEDIATRIZ
Mediatriz de un
segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los
extremos.
.
Ecuación de la mediatriz
MEDIANA
ALTURAS
Calcular alturas y coordenadas del ortocentro
Calcular bisectrices y coordenadas del incentro
Forma general de la ecuacion de una recta.
En los articulos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el
plano coordensdo , es de la forma lineal
La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son
números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la
ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.
|
|
La ecuación explícita de la recta cuando se
conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones
son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin
excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce
como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el
siguiente teorema:
TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta. Demostración i. Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
  En este
caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0 de donde
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de
donde
  En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma: 
fig. 4.13.
obeservaciones
i. Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes: 
(1A)
(1C)
En
cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo
dos
constantes independientes, por ejemplo 
Esto indica que para determinar la ecuación de
una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por
ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo
establecido en los numerales anteriores.
iii. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y  
viene dado por .
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta. |
Forma Normal de la ecuación de la recta
Ecuación normal de la recta
Los puntos A y X de la recta r determinan
el vector:
= (x - a1, y - a2)
El vector es un vector unitario y perpendicular a r.
Si las componentes del vector director de r
son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son:
(A, B).
Por tanto las componentes del vector
unitario y perpendicular serán
Como AX y ñ son perpendiculares, su producto escalar es cero:
Si en la ecuación general sustituimos las
coordenadas del punto A, obtenemos
:
Ejemplo
Hallar la ecuación
normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.
Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:
Ejemplo
Hallar la ecuación de una recta
perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.
Este vector es perpendicular a la recta
buscada.
Cosenos directores
Las componentes de un vector unitario en
una base ortonormal , son el coseno y el seno que forma con el vector de la base.
Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta,
ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).
FAMILIA DE LINEAS
RECTAS
En el Artbulo 29 vimos que una recta y su ecuaci6n
quedan determinadas perfectamente por dos condiciones independientes. Por
tanto, una recta que satisface solamente una condici6n no es una recta linica ;
hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la
propiedad comb asociada con esa linica condici6n. De acuerdo con esto podemos
formular la siguiente
DEFINICIÓN
.-La totalidad de las rectas que satisfacen una uinica condici6n geometrica se
llama familia o haz de rectas.
Trigonometría
Transformación de angulos en grados
o en radianes
1
GRADO = π/180º
= 0.017453 RAD
1
RADIAN = 180º/π
=57,2958º
EJEMPLOS:
- TRANSFORMAR LOS SIGUIENTES ANGULOS DADOS EN MEDIDA CIRCULAR A GRADOS
π/2=
π/2 .
180/π =
90º
2π/3 = 2π/3 . 180/π =180º
2π
= 2π . 180/π = 360º
π+1/3= 1.38(57.2958)= 79º 05º 54.95º
- LOS SIGUIENTES ANGULOS ESTAN DADOS EN GRADOS , TRANSFORMARLO A MEDIDA CIRCULAR
150º=
150 . π/180 =
5π/6
35º
46º 18º = 35.77º (0.017453)= 0.624 RAD
240º
= 240 . π/180 = 4π/3
RESOLUCIÓN DE POLIGONOS REGULARES
Resolución de triángulos isosceles
K
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA AL POLÍGONO
1) α= 360º/n
n= número
de lados del polígono
2) α/2=
360/n/2 = 180/n
3)
R
C/2
4) Area del
triángulo isosceles c.r/2
5) Área del
polígono c.r.n/2
6)
Perimetro c.n
Ejemplo:
RESOLVER EL SIGUIENTE POLIGONO REGULAR
DATOS :
r =18
n= 10
1)
calculo α/2 = 180/n=
18 Área del triángulo Área del poligono
2) cos 18º
= r/R =18
/R
A=
c.r/2
A= C.r.n/2
R=18/ cos 18
=18.93
A= 11.69(18)/2
A=11.69(18)(10)/2 =1052.1 u
tg 18º = C/2/r =
C/36
A= 105.21 u Perimétro del poligono
C
= 36 tg 18º =
11.69
c.n= 11.69 * 10= 116.9 u
TÉRMINOS EMPLEADOS
EN PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS
- VERTICAL DE UN LUGAR ._ es la línea que coincide con la dirección de la plomada
- LÍNEA HORIZONTAL ._ Es la perpendicular a la vertical
- UN PLANO VERTICAL ._ Es el que contiene a la vertical (pared)
- UN PLANO HORIZONTAL._ Es el plano perpendicular a la vertical (piso)
- ÁNGULO DE ELEVACIÓN ._ Es el ángulo vertical formado por la visual del observador y la visual del objeto
- ÁNGULO DE DEPRESIÓN ._Es el ángulo vertical formado por la visual
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS
Para resolver triángulos oblicuangulos
utilizamos la ley del seno , coseno , y la ley de la tangente
LEY DEL SENO
Enunciado.- El lado de un triángulo es al seno del ángulo opuesto
a/senA= b/ senB = c / sen C
DEMOSTRACIÓN:
Sen A =
h/c
Sen C = h/a
h = c.senA
h = a. sen C
c.senA = a . sen C
c/ senC = a / sen A
1) DATOS :
a=
40
A=60º
B=45º
40/Sen 60º = b/Sen
45º
A+B+C=180
b=40 sen 45º/ sen 60º=
32.65
60º +45º + C = 180º
C = 75º
a/ sen A = c/ Sen C
A=1/2 a.b sen C
40/Sen 60º = c / sen 75º
C= 40 . sen 75º/ sen 60º =
44.61
A=1/2 (40)(32.65)Sen 75º
A=630.75
u
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUANGULOS
LEY DEL COSENO
Enunciado ._ El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma del
cuadradode los otros menos el doble producto de dichos lados por el coseno del
ángulo que forman
1) resolver el siguiente triángulo oblicuangulo
a=8
b=19
c = 14
LEY DE LA TANGENTE
La suma de dos lados en un triángulo es a su
diferencia como la tg mitad de la suma de los ángulos opuestos es a la tg mitad
de la diferencia de dichos ángulos
ANALISIS TRIGONOMÉTRICO
(Seno y coseno de la suma o diferencia de dos
Ángulos)
- sen ( x + y ) = sen x . cos y + cos x . sen y
- sen ( x - y ) = sen x . cos y - cos x . sen y
- cos ( x + y ) = cos x.cos y - sen x . sen y
- cos ( x - y ) = cos x . cosy + sen x. sen y
- tg (x + y )= tg x + tg y /1-tg x . tg y
- tg (x - y ) = tg x - tg y / 1+ tg x . tg y
- ctg (x+y) = ctg x . ctg y-1/ ctg y+ ctg x
- ctg (x -y) = ctg x . ctg y +1 / ctg y - ctg x
DEMOSTRAR QUE :
COS (X-Y+Z)= cosx cosy cosz + cosx sen y senz - senx cosy senz + senx
seny cosz
cos ( (x-y) +z) = cos (x-y)cosz - sen(x-y) senz
cos ((x-y) + z) = ( cosx cosy + senx seny )cosz - (senx cosy -cosx seny ) senz
cos ((x-y) + z)= cosx cosy cosz + senz seny cosz - senx cosy senz + cosx seny senz
IDENTIDADES
1) Podemos reducir un miembro a la
forma del otro miembro usando identidades conocidas.
en general , el miembro mas complicado es reducido
a la forma del miembro mas sencillo .
2)Podemos reducir ambos miembros
usando identidades conocidas, a la misma expresion
entonces como los dos miembros son
identicos a una misma expresión son identicos entre si
No puede darse ningún método general a seguir en
todos los casos
- Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica que es una identidad
sen y /1 + cos y = 1- cos y/sen y
tg x/2 = tg x/2
Ctg x = sen 2x/ 1-cos2 x
ctg x =2senx cosx /1-(1+2sen2x)
ctg x = 2senx cos x /1-1-2 sen x
ctg x = 2senx cos x / 2 sen2 x
ctg x = cosx / sen x
ctg x =ctg x
