GEOMETRÍA ANALÍTICA

( CHARLES LEHMAMN)

SISTEMA UNIDIMENCIONAL

HORIZONTAL

VERTICAL

2). Segmento rectilineo dirigido. La porcion de una linea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilineo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Asi, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por AB.

Fig. I
                                        A                    B

                               ------------->----------

El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geometría analítica diremos, a1 concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.En este campo el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A; entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de 10s segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre 10s signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, sería considerado como un segmento de longitud negativo. De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.

AB = - BA

Demostraremos enseguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:

AB+BC=AC

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL

TEOREMA 1.-La distancia de un segmento de recta es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del del punto inicial en valor absoluto

Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :

                       OP1 + P1P2 = OP2

                      Pero, P1P2= OP2-OP1

                               P1P2 = (X2 - X1)

Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3 ) .
Solucibn. Por el teorema 1. las longitudes de 10s segmentos dirigidos son

   P1P2 = -3-5 = -8
                           P2P1= 5-(-3) =8         _P2_______P1_________0
                                                                (-3)            (5)

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

TEOREMA 2 .A La distancia d entre dos puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
estd dada por la FORMULA

NOTAS. 1. En la demostracion del teorema 2, no se hizo mencion de los cuadrantes en que se encuentran los puntos PI y Pa. Segun esto el resultado del teorema 2 es completamente general e independiente de la situacibn de los puntos P1 y P2.

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son los puntos extremos de un segmento de recta en que un punto p (x,y) divide a este segmento en la razón dada r = P1P/PP2 Y viene carculada por x = x1+rx2/ 1+r

y = y1+ r y2/ 1+ r r =/= -1

Ejemplo. Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son los puntos extremos del segmento dirigido PI Para hallar las coordenadas del punto P ( x , y) que divide a este segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.

Solución -. Como la razon es negativa. el punto de division P es extremo, tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente, obtendremos:

x = x1+ r x2 / 1+r

x= -4+(-3)4/ 1-3= 8

y= y1+ ry2 /1+ r

y = 2+(-3)6 /1-3 = 8

PUNTO MEDIO

En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido P1 P2, es r = 1 , de manera que los resultados anteriores se reducen a :

X = X1+X2/2 ; Y= Y1+Y2/2

Líneas notables de un triángulo

MEDIANAS : Punto de intersección es el Baricentro

MEDIATRICES : Punto de interseccion, es el Circuncentro

ALTURAS : Punto de interseccion, es el Ortocentro

BISECTRICES:: Punto de interseccion es el Ortocentro

La recta que une a los puntos (Baricentro , Circuncentro , Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler

Pendiente de una recta(m)

Angulo de inclinación α .- E s el angulo formado entre la parte positiva del eje de las x y una alineación cualquiera siempre que esta este dirigida hacia arriba por lo tanto α tendra valores mayores o iguales a cero grados y menores o iguales a 180 º

Pendiente de una recta .-la pendiente de una recta es igual a la tangente del angulo de inclinación α

m = tg

teorema 3.-si p1(x1,y1) y p2(x2,y2) son los puntos extremos de un segmento de recta su pendiente viene determinada por m= y1-y2/x1-x2 x1=/= x2

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

TEOREMA 4.-Un ángulo específicado Θ formado por dos rectas que se cortan ; viene determinado por m2 pendiente del lado final y m1 pendiente del lado inicial .

tg Θ = m2-m1/ 1+m2.m1 ; m2.m1 =/= -1

DEMOSTRACION:

α2 = α 1 + Θ

Θ = α2 - α 1

Tg Θ = tg (α2 - α 1)

tg Θ = tg α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1

m = tg α

tg α =m2-m1/1+ m2,m1

EJEMPLO :

En el siguiente triángulo cuyos vértices son lospuntos de coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los ángulos interiores

mAB = Y1-Y2/X1-X2 mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3

mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 = -1/2 mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.

Tg Θ A = m2-m1/1+m2.m1 Tg Θ C = m2-m1/1+m2.m1

Tg Θ= -1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3) Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))

Tg Θ =-1/2+3 / 1+3/2 Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)

Tg Θ = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5= 1 Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito

Tg Θ a = 1

Θ A = inv tg 1

Θ A = 45º

Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1 Comprobación:

Tg Θ = 1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2) A+B+C =180º

Tg Θ =(1/3+1/2)/(1-1/6) 45º +45º +90º = 180º

Tg Θ = (5/6)/(5/6) 180º = 180º

Tg Θ = 5/5

Tg Θ = 1

Θ = Inv Tg 1

Θ = 45º

PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

a) PARALELAS

Corolario.- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas esque sus pendientes sean iguales m1 = m2

Tg 0º = m2 - m1 / 1+m2.m1

0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1

(1+m2.m1)0 = m2-m1

0 = m2-m1

m1 = m2

b) PERPENDICULARES

Corolario .- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares esque sus pendientes sean inversas y de signo contrario

Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = inf = 1/0

1/0 = m2- m1/1+m2.m1

1+m2.m1 = 0(m2-m1)

1+m2.m1 =0

m1 = - 1 /m2

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente m= y1-y2

FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

mx + b = y

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12

2X - 3Y -12 = 0

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.- La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x,y) tiene una ecuacion y-y1= m(x-x1)

DEMOSTRACIÓN:

m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5 Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

3) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS

TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuacion :

m = y1-y2/x1-x2

y-y1 = m = ( x - x1)

y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

4) ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

TEOREMA 8.- La ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes de coordenadas (x,y) son a y b respectivamente. Su ecuación es x/a + y/b =1

y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

y- b= b-0/0-a (x-0)

y-b =-b/a (x)

-a(y-b) = bx

-ay + ab = bx

bx+ay = ab : (ab)

bx/ab + ay /ab = ab/ab

x/a + y/b = 1

MEDIATRIZ

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos.

Ecuación de la mediatriz

MEDIANA

ALTURAS

Calcular alturas y coordenadas del ortocentro

Calcular bisectrices y coordenadas del incentro

Forma general de la ecuacion de una recta.

En los articulos precedentes hemos visto que la ecuaci6n de una recta cualquiera , en el
plano coordensdo , es de la forma lineal



La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

TEOREMA

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

Demostración

i. Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0 de donde

la ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es m=-A/b y cuyo intercepto con el eje y viene dado por:

fig. 4.13.

obeservaciones

    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)

(1B)

(1C)

En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
         viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y

viene dado por .
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

Forma Normal de la ecuación de la recta

Ecuación normal de la recta

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

= (x - a₁, y - a₂)

El vector es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

Como AX y ñ son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos

Ejemplo

Hallar la ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

Ejemplo

Hallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.

Este vector es perpendicular a la recta buscada.

Cosenos directores

Las componentes de un vector unitario en una base ortonormal , son el coseno y el seno que forma con el vector de la base.

Estas expresiones se llaman cosenos directores de la recta, ya que la segunda puede escribirse como: sen α = cos(90º - α).

FAMILIA DE LINEAS RECTAS

En el Artbulo 29 vimos que una recta y su ecuaci6n quedan determinadas perfectamente por dos condiciones independientes. Por tanto, una recta que satisface solamente una condici6n no es una recta linica ; hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad comb asociada con esa linica condici6n. De acuerdo con esto podemos formular la siguiente

DEFINICIÓN .-La totalidad de las rectas que satisfacen una uinica condici6n geometrica se llama familia o haz de rectas.

Trigonometría

Transformación de angulos en grados o en radianes

1 GRADO = π/180º = 0.017453 RAD

1 RADIAN = 180º/π =57,2958º

EJEMPLOS:

TRANSFORMAR LOS SIGUIENTES ANGULOS DADOS EN MEDIDA CIRCULAR A GRADOS

π/2= π/2 . 180/π = 90º 2π/3 = 2π/3 . 180/π =180º

2π = 2π . 180/π = 360º π+1/3= 1.38(57.2958)= 79º 05º 54.95º

LOS SIGUIENTES ANGULOS ESTAN DADOS EN GRADOS , TRANSFORMARLO A MEDIDA CIRCULAR

150º= 150 . π/180 = 5π/6 35º 46º 18º = 35.77º (0.017453)= 0.624 RAD

240º = 240 . π/180 = 4π/3

RESOLUCIÓN DE POLIGONOS REGULARES

Resolución de triángulos isosceles

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL POLÍGONO

1) α= 360º/n

n= número de lados del polígono

2) α/2= 360/n/2 = 180/n

C/2

4) Area del triángulo isosceles c.r/2

5) Área del polígono c.r.n/2

6) Perimetro c.n

Ejemplo:

RESOLVER EL SIGUIENTE POLIGONO REGULAR

DATOS :

r =18

n= 10

1) calculo α/2 = 180/n= 18 Área del triángulo Área del poligono

2) cos 18º = r/R =18 /R A= c.r/2 A= C.r.n/2

R=18/ cos 18 =18.93 A= 11.69(18)/2 A=11.69(18)(10)/2 =1052.1 u

tg 18º = C/2/r = C/36 A= 105.21 u Perimétro del poligono

C = 36 tg 18º = 11.69 c.n= 11.69 * 10= 116.9 u

TÉRMINOS EMPLEADOS EN PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS

VERTICAL DE UN LUGAR ._ es la línea que coincide con la dirección de la plomada

LÍNEA HORIZONTAL ._ Es la perpendicular a la vertical

UN PLANO VERTICAL ._ Es el que contiene a la vertical (pared)

UN PLANO HORIZONTAL._ Es el plano perpendicular a la vertical (piso)

ÁNGULO DE ELEVACIÓN ._ Es el ángulo vertical formado por la visual del observador y la visual del objeto

ÁNGULO DE DEPRESIÓN ._Es el ángulo vertical formado por la visual

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS

Para resolver triángulos oblicuangulos utilizamos la ley del seno , coseno , y la ley de la tangente

LEY DEL SENO

Enunciado.- El lado de un triángulo es al seno del ángulo opuesto

a/senA= b/ senB = c / sen C

DEMOSTRACIÓN:

Sen A = h/c Sen C = h/a

h = c.senA h = a. sen C

c.senA = a . sen C

c/ senC = a / sen A

1) DATOS :

a= 40

A=60º

B=45º 40/Sen 60º = b/Sen 45º A+B+C=180

b=40 sen 45º/ sen 60º= 32.65 60º +45º + C = 180º

C = 75º

a/ sen A = c/ Sen C A=1/2 a.b sen C

40/Sen 60º = c / sen 75º

C= 40 . sen 75º/ sen 60º = 44.61 A=1/2 (40)(32.65)Sen 75º

A=630.75 u

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS

LEY DEL COSENO

Enunciado ._ El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma del cuadradode los otros menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman

1) resolver el siguiente triángulo oblicuangulo

a=8 b=19 c = 14

LEY DE LA TANGENTE

La suma de dos lados en un triángulo es a su diferencia como la tg mitad de la suma de los ángulos opuestos es a la tg mitad de la diferencia de dichos ángulos

ANALISIS TRIGONOMÉTRICO

(Seno y coseno de la suma o diferencia de dos Ángulos)

sen ( x + y ) = sen x . cos y + cos x . sen y
sen ( x - y ) = sen x . cos y - cos x . sen y
cos ( x + y ) = cos x.cos y - sen x . sen y
cos ( x - y ) = cos x . cosy + sen x. sen y
tg (x + y )= tg x + tg y /1-tg x . tg y
tg (x - y ) = tg x - tg y / 1+ tg x . tg y
ctg (x+y) = ctg x . ctg y-1/ ctg y+ ctg x
ctg (x -y) = ctg x . ctg y +1 / ctg y - ctg x

DEMOSTRAR QUE :

COS (X-Y+Z)= cosx cosy cosz + cosx sen y senz - senx cosy senz + senx seny cosz

cos ( (x-y) +z) = cos (x-y)cosz - sen(x-y) senz

cos ((x-y) + z) = ( cosx cosy + senx seny )cosz - (senx cosy -cosx seny ) senz

cos ((x-y) + z)= cosx cosy cosz + senz seny cosz - senx cosy senz + cosx seny senz

IDENTIDADES

1) Podemos reducir un miembro a la forma del otro miembro usando identidades conocidas.

en general , el miembro mas complicado es reducido a la forma del miembro mas sencillo .

2)Podemos reducir ambos miembros usando identidades conocidas, a la misma expresion

entonces como los dos miembros son identicos a una misma expresión son identicos entre si

No puede darse ningún método general a seguir en todos los casos

Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica que es una identidad

sen y /1 + cos y = 1- cos y/sen y
tg x/2 = tg x/2

Ctg x = sen 2x/ 1-cos2 x

ctg x =2senx cosx /1-(1+2sen2x)

ctg x = 2senx cos x /1-1-2 sen x

ctg x = 2senx cos x / 2 sen2 x

ctg x = cosx / sen x

ctg x =ctg x

GEOMETRÍA ANALÍTICA

lunes, 27 de agosto de 2012

Calcular alturas y coordenadas del ortocentro

Calcular bisectrices y coordenadas del incentro

Ecuación normal de la recta

Ejemplo

Ejemplo

Cosenos directores

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